Enunciado del Problema
(4 puntos) Determine el dominio de la función:
$$f(x) = \sqrt{\frac{x^3 + 2x^2 – 3x}{|x| – 5}}$$
Teoría Necesaria
Para hallar el dominio de una función real de variable real, debemos identificar los valores de \(x\) para los cuales la función está bien definida. En este caso, tenemos dos restricciones principales:
- Raíz cuadrada de índice par: La expresión dentro de la raíz (el radicando) debe ser mayor o igual a cero.
$$ \text{Si } f(x) = \sqrt{g(x)} \implies g(x) \ge 0 $$ - Denominador de una fracción: El denominador no puede ser igual a cero, ya que la división por cero no está definida.
$$ \text{Si } f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \implies Q(x) \neq 0 $$
Debemos encontrar el conjunto de valores de \(x\) que satisfaga ambas condiciones simultáneamente.
Solución Detallada
Aplicamos las condiciones de existencia a nuestra función:
$$ \frac{x^3 + 2x^2 – 3x}{|x| – 5} \ge 0 \quad \text{y} \quad |x| – 5 \neq 0 $$
Paso 1: Analizar la restricción del denominador
El denominador no puede ser cero:
$$|x| – 5 \neq 0 \implies |x| \neq 5$$
Esto significa que \(x\) no puede tomar los valores que hacen que su valor absoluto sea 5. Por lo tanto:
\(x \neq 5\) y \(x \neq -5\)
Estos puntos deberán ser excluidos del dominio final.
Paso 2: Analizar la inecuación del radicando
Debemos resolver la inecuación racional:
$$ \frac{x^3 + 2x^2 – 3x}{|x| – 5} \ge 0 $$
Para ello, analizaremos los signos del numerador y del denominador por separado mediante el método de los puntos críticos.
Análisis del Numerador \(N(x)\)
$$N(x) = x^3 + 2x^2 – 3x$$
Factorizamos la expresión para encontrar sus raíces:
$$x(x^2 + 2x – 3) = 0$$
Factorizamos el trinomio cuadrático (podemos usar aspa simple: \(x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)\)):
$$x(x+3)(x-1) = 0$$
Los puntos críticos del numerador son: \(x = 0\), \(x = -3\), \(x = 1\).
Análisis del Denominador \(D(x)\)
$$D(x) = |x| – 5$$
Los puntos críticos del denominador son aquellos que lo hacen cero (ya los hallamos en el Paso 1): \(x = 5\), \(x = -5\).
Paso 3: Tabla de Signos y Conjunto Solución
Colocamos todos los puntos críticos hallados (\(-5, -3, 0, 1, 5\)) en orden en la recta numérica y analizamos el signo de la expresión en cada intervalo resultante.
Recordemos que:
- \(|x| – 5 > 0\) cuando \(x > 5\) o \(x < -5\).
- \(|x| – 5 < 0\) cuando \(-5 < x < 5\).
| Intervalo | Signo \(N(x)\) | Signo \(D(x)\) | ¿Cumple \(\geq 0\)? |
|---|---|---|---|
| \( (-\infty, -5) \) | – | + | No (-) |
| \( (-5, -3] \) | – | – | Sí (+) |
| \( (-3, 0] \) | + | – | No (-) |
| \( [0, 1] \) | – | – | Sí (+) |
| \( [1, 5) \) | + | – | No (-) |
| \( (5, \infty) \) | + | + | Sí (+) |
Buscamos los intervalos donde el cociente es positivo (\(\ge 0\)). Estos son \((-5, -3)\), \((0, 1)\) y \((5, \infty)\).
Análisis de los extremos:
- La inecuación es \(\ge 0\), por lo que incluimos los puntos donde el numerador se hace cero: \(\{-3, 0, 1\}\). Usamos corchetes \([]\).
- Siempre debemos excluir los puntos que hacen cero al denominador: \(\{-5, 5\}\). Usamos paréntesis \(()\).
Finalmente, unimos los intervalos válidos:
Dominio de \(f = (-5, -3] \cup [0, 1] \cup (5, \infty)\)
Errores Comunes
- Olvidar la restricción del denominador: No excluir los valores \(x=5\) y \(x=-5\), lo que llevaría a usar corchetes en lugar de paréntesis en esos extremos.
- Mal análisis de signos del valor absoluto: Suponer incorrectamente el signo de \(|x|-5\) en los intervalos entre \(-5\) y \(5\).
- Factorización incorrecta: Cometer errores al factorizar el numerador \(x^3 + 2x^2 – 3x\), obteniendo puntos críticos erróneos.
- Confusión en la inclusión de extremos: No tener claro cuándo usar intervalos cerrados (corchetes) o abiertos (paréntesis), especialmente con la condición \(\ge 0\).
