Problema de Examen: Hallar el Dominio de una Función Compuesta
Enunciado del problema
(3P) Halle el dominio de la función
$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 – 4x + 3}}{x^2 + 9} + \frac{25 – x^2}{|x| – 2}$$
Teoría necesaria
Para encontrar el dominio de una función real de variable real, debemos identificar los valores de \(x\) para los cuales la función está bien definida. Las dos restricciones principales que aparecen en este problema son:
- Raíces pares (como la raíz cuadrada): La expresión dentro de una raíz cuadrada (el radicando) debe ser mayor o igual a cero. Si tenemos \(\sqrt{A}\), entonces necesitamos \(A \ge 0\).
- Denominadores: El denominador de una fracción nunca puede ser cero, ya que la división por cero no está definida. Si tenemos \(\frac{A}{B}\), entonces necesitamos \(B \neq 0\).
El dominio final será la intersección de todas las condiciones que encontremos.
Solución detallada
Analizaremos la función por partes, estableciendo las condiciones para que cada término exista.
La función dada es:
$$f(x) = \underbrace{\frac{\sqrt{x^2 – 4x + 3}}{x^2 + 9}}_{\text{Término 1}} + \underbrace{\frac{25 – x^2}{|x| – 2}}_{\text{Término 2}}$$
Paso 1: Analizar el numerador del Término 1 (Restricción de la raíz cuadrada)
La expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser no negativa:
$$x^2 – 4x + 3 \ge 0$$
Para resolver esta inecuación cuadrática, primero factorizamos el trinomio:
$$(x – 3)(x – 1) \ge 0$$
Los puntos críticos son \(x = 1\) y \(x = 3\). Al analizar los signos en la recta numérica (o recordando que es una parábola que abre hacia arriba y buscamos la parte positiva), obtenemos los intervalos donde la expresión es mayor o igual a cero:
Condición 1: \(x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)\)
Paso 2: Analizar el denominador del Término 1
El denominador no puede ser cero:
$$x^2 + 9 \neq 0$$
Observamos que \(x^2\) siempre es un número mayor o igual a cero para cualquier \(x\) real. Por lo tanto, \(x^2 + 9\) siempre será mayor o igual a 9. Nunca será cero en los números reales.
Condición 2: \(x \in \mathbb{R}\) (Esta condición no añade nuevas restricciones).
Paso 3: Analizar el denominador del Término 2 (Restricción del valor absoluto)
El segundo denominador tampoco puede ser cero:
$$|x| – 2 \neq 0$$
Resolvemos para \(|x|\):
$$|x| \neq 2$$
Esto significa que \(x\) no puede ser ni 2 ni -2.
Condición 3: \(x \neq 2\) y \(x \neq -2\).
Paso 4: Intersección de condiciones (Dominio final)
Para hallar el dominio de \(f(x)\), debemos intersectar todas las condiciones halladas:
- Debemos estar en el conjunto \( (-\infty, 1] \cup [3, \infty) \) (de la Condición 1).
- Debemos excluir los puntos \(x = -2\) y \(x = 2\) (de la Condición 3).
Analicemos los puntos a excluir:
- El punto \(x = -2\) pertenece al intervalo \((-\infty, 1]\). Por lo tanto, debemos quitarlo.
- El punto \(x = 2\) NO pertenece al intervalo \((-\infty, 1] \cup [3, \infty)\) (cae en el hueco entre 1 y 3). Por lo tanto, ya estaba excluido por la Condición 1.
El dominio final se obtiene tomando el conjunto de la Condición 1 y quitando el punto \(-2\).
$$ \text{Dom}(f) = ((-\infty, 1] \cup [3, \infty)) – \{-2\} $$
Expresado en notación de intervalos:
$$ \text{Dom}(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, 1] \cup [3, \infty) $$
Errores comunes
- Error en la inecuación cuadrática: Un error frecuente es tomar el intervalo incorrecto en \(x^2 – 4x + 3 \ge 0\), concluyendo erróneamente que la solución es \([1, 3]\) en lugar de los intervalos exteriores.
- Olvidar una solución del valor absoluto: Al resolver \(|x| \neq 2\), a veces solo se excluye \(x \neq 2\) y se olvida excluir \(x \neq -2\).
- Intentar resolver \(x^2 + 9 = 0\) en reales: Perder tiempo tratando de encontrar raíces reales para un denominador que nunca se hace cero.
- Mala intersección de conjuntos: No verificar si los puntos prohibidos por los denominadores (como \(x=2\) y \(x=-2\)) realmente afectan al intervalo permitido por la raíz cuadrada.
