Problema de Examen: Reducción de Expresiones Algebraicas
Enunciado del problema
Pregunta (2.5 puntos)
Esta pregunta consta de 2 ítems independientes.
a) (2,5 puntos) Reduce la siguiente expresión algebraica:
$$ (3x + 1)^2 – \frac{12x^2 – 4x – 1}{2x – 1} $$
Teoría necesaria
Para resolver este ejercicio, necesitamos dominar tres herramientas fundamentales del álgebra:
- Producto Notable (Binomio al Cuadrado): La regla para elevar una suma al cuadrado es: el primer término al cuadrado, más el doble del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado.
$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ - Factorización de Trinomios Cuadráticos: Para simplificar una fracción, necesitamos factorizar sus componentes. Un trinomio de la forma \(ax^2 + bx + c\) se puede factorizar a menudo en el producto de dos binomios: \((dx + e)(fx + g)\). Una técnica común es buscar dos números que multiplicados den \(a \cdot c\) y sumados den \(b\), para luego descomponer el término central y factorizar por agrupación.
- Simplificación de Fracciones Algebraicas: Si el numerador y el denominador de una fracción comparten un factor común, este se puede cancelar (siempre que no sea cero).
$$ \frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B} \quad (\text{si } C \neq 0) $$
Solución detallada
Vamos a resolver el problema dividiéndolo en partes más manejables.
La expresión dada es: \( \underbrace{(3x + 1)^2}_{\text{Parte 1}} – \underbrace{\frac{12x^2 – 4x – 1}{2x – 1}}_{\text{Parte 2}} \)
Paso 1: Desarrollar la Parte 1 (Binomio al cuadrado)
Aplicamos la fórmula del binomio al cuadrado \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) con \(a = 3x\) y \(b = 1\):
$$ (3x + 1)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(1) + 1^2 $$
$$ (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 $$
Paso 2: Simplificar la Parte 2 (Fracción algebraica)
Para simplificar la fracción \( \frac{12x^2 – 4x – 1}{2x – 1} \), primero debemos factorizar el numerador: \( 12x^2 – 4x – 1 \).
Usamos el método de descomposición del término central. Buscamos dos números que:
- Multiplicados den \( a \cdot c = 12 \cdot (-1) = -12 \).
- Sumados den \( b = -4 \).
Los números que cumplen estas condiciones son \( -6 \) y \( 2 \), ya que \( (-6)(2) = -12 \) y \( -6 + 2 = -4 \).
Reescribimos el término central \(-4x\) como \(-6x + 2x\):
$$ 12x^2 – 6x + 2x – 1 $$
Factorizamos por agrupación:
$$ \underbrace{12x^2 – 6x}_{6x(2x – 1)} + \underbrace{2x – 1}_{1(2x – 1)} $$
$$ 6x(2x – 1) + 1(2x – 1) $$
Extraemos el factor común binomio \((2x – 1)\):
$$ (6x + 1)(2x – 1) $$
Ahora, sustituimos el numerador factorizado en la fracción original:
$$ \frac{(6x + 1)(2x – 1)}{2x – 1} $$
Podemos cancelar el factor \((2x – 1)\) en el numerador y el denominador, asumiendo que \(2x – 1 \neq 0\) (es decir, \(x \neq 1/2\)).
$$ \frac{(6x + 1)\cancel{(2x – 1)}}{\cancel{2x – 1}} = 6x + 1 $$
Paso 3: Realizar la resta final
Ahora que hemos simplificado ambas partes, las sustituimos en la expresión original. ¡Mucho cuidado con el signo negativo!
$$ (\text{Resultado de la Parte 1}) – (\text{Resultado de la Parte 2}) $$
$$ (9x^2 + 6x + 1) – (6x + 1) $$
Distribuimos el signo negativo al paréntesis de la derecha:
$$ 9x^2 + 6x + 1 – 6x – 1 $$
Agrupamos y reducimos los términos semejantes:
$$ 9x^2 + (6x – 6x) + (1 – 1) $$
$$ 9x^2 + 0 + 0 $$
Resultado final:
$$ 9x^2 $$
Errores comunes
- Binomio mal desarrollado: Olvidar el término central \(2ab\). Escribir erróneamente que \((3x + 1)^2\) es igual a \(9x^2 + 1\).
- Factorización incorrecta: No encontrar los factores correctos para el trinomio \(12x^2 – 4x – 1\), lo que impide simplificar la fracción.
- Error de signo en la resta: Este es el error más frecuente. Al restar la segunda parte, no distribuir el signo negativo a todos los términos. Por ejemplo, escribir \( (9x^2 + 6x + 1) – 6x + 1 \) en lugar de \( (9x^2 + 6x + 1) – (6x + 1) \). Esto llevaría a un resultado incorrecto de \(9x^2 + 2\).
- Cancelación ilegal: Intentar cancelar términos que se suman en lugar de factores que se multiplican. Por ejemplo, en \( \frac{12x^2 – 4x – 1}{2x – 1} \), tachar el \(-1\) del numerador con el \(-1\) del denominador.
