Problema de Examen: Aplicación de la Derivada como Razón de Cambio
Enunciado del problema
(4 puntos) Se estima que dentro de \(t\) años, la población de pollos de una avícola será
$$ P(t) = \frac{80t + 8}{t + 1} \quad \text{miles de pollos.} $$
- Calcule \( P(5) \) e interprete el resultado.
- Encuentre una expresión que permita calcular el ritmo al cual varía la población de pollos con respecto al tiempo dentro de \(t\) años.
- ¿A qué ritmo variará la población dentro de 5 años?
- Utilice los resultados encontrados en los ítems anteriores para estimar la población de pollos en esta avícola dentro de 6 años.
Teoría necesaria
Para resolver este problema de aplicación a los negocios y economía, necesitamos los siguientes conceptos de cálculo diferencial:
- Evaluación de funciones: Sustituir un valor específico de \(t\) en la función \(P(t)\) para encontrar la población total en ese momento.
- La Derivada como Razón de Cambio: La derivada de una función de población, \(P'(t)\), representa el «ritmo» o velocidad a la que la población cambia (aumenta o disminuye) en un instante \(t\).
- Regla del Cociente para Derivar: Si tenemos una función de la forma \(f(t) = \frac{u(t)}{v(t)}\), su derivada es:
$$ \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’ \cdot v – u \cdot v’}{v^2} $$ - Estimación Lineal (Aproximación usando la diferencial): Podemos estimar el valor de la función en un punto cercano \(t + \Delta t\) usando el valor de la función y su derivada en \(t\):
$$ P(t + \Delta t) \approx P(t) + P'(t) \cdot \Delta t $$
Donde \(\Delta t\) es un cambio pequeño en el tiempo.
Solución detallada
Parte (a): Cálculo e interpretación de \( P(5) \)
Debemos evaluar la función \(P(t)\) cuando \(t = 5\).
$$ P(5) = \frac{80(5) + 8}{5 + 1} $$
$$ P(5) = \frac{400 + 8}{6} $$
$$ P(5) = \frac{408}{6} $$
$$ P(5) = 68 $$
Interpretación: Dado que la función \(P(t)\) está en «miles de pollos», el resultado significa que dentro de 5 años, la población de la avícola será de 68,000 pollos.
Parte (b): Expresión para el ritmo de variación
El «ritmo al cual varía la población» es la derivada \(P'(t)\). Usaremos la regla del cociente. Sea \(u = 80t + 8\) y \(v = t + 1\).
Derivamos \(u\) y \(v\):
- \(u’ = 80\)
- \(v’ = 1\)
Aplicamos la fórmula:
$$ P'(t) = \frac{(80)(t + 1) – (80t + 8)(1)}{(t + 1)^2} $$
Simplificamos el numerador:
$$ P'(t) = \frac{80t + 80 – 80t – 8}{(t + 1)^2} $$
$$ P'(t) = \frac{72}{(t + 1)^2} $$
La expresión que permite calcular el ritmo de variación es \( P'(t) = \frac{72}{(t + 1)^2} \) miles de pollos por año.
Parte (c): Ritmo de variación dentro de 5 años
Debemos evaluar la derivada \(P'(t)\) encontrada en el paso anterior cuando \(t = 5\).
$$ P'(5) = \frac{72}{(5 + 1)^2} $$
$$ P'(5) = \frac{72}{(6)^2} $$
$$ P'(5) = \frac{72}{36} $$
$$ P'(5) = 2 $$
Interpretación: Dentro de 5 años, la población de pollos estará creciendo a un ritmo de 2,000 pollos por año.
Parte (d): Estimación de la población dentro de 6 años
El problema pide explícitamente usar los resultados anteriores (\(P(5)\) y \(P'(5)\)) para estimar \(P(6)\). Usaremos la fórmula de aproximación lineal con \(t=5\) y un cambio en el tiempo \(\Delta t = 6 – 5 = 1\) año.
$$ P(6) \approx P(5) + P'(5) \cdot (1) $$
Sustituimos los valores que calculamos en las partes (a) y (c):
- \(P(5) = 68\)
- \(P'(5) = 2\)
$$ P(6) \approx 68 + 2(1) $$
$$ P(6) \approx 70 $$
Respuesta: Se estima que la población dentro de 6 años será de 70,000 pollos.
Errores comunes
- Olvidar las unidades: No interpretar que los resultados «68», «2» y «70» representan «miles de pollos» o «miles de pollos por año».
- Error en la regla del cociente: Un error muy frecuente es olvidar el signo negativo en el numerador de la fórmula: \(u’v \boldsymbol{-} uv’\), o no elevar al cuadrado el denominador.
- No usar la estimación en la parte (d): Un error es calcular \(P(6)\) sustituyendo directamente \(t=6\) en la función original. Aunque el resultado es similar, el enunciado exige usar la aproximación lineal con la derivada (usar los resultados anteriores).
