Problema de Examen: Aplicación de la Derivada a la Economía (Análisis Marginal)
Enunciado del problema
(4 puntos) Un fabricante de camisetas deportivas estima que el costo de producción de \(x\) camisetas es dado por
$$ C(x) = \frac{\sqrt{x^3 + 4}}{x + 2} $$
Si vende cada camiseta a \(p = 15 + \frac{3x}{2}\) dólares.
- Halle la función utilidad del fabricante.
- Halle la función utilidad marginal.
- Utilice el análisis marginal para estimar la utilidad que el fabricante obtendrá por la venta de la quinta camiseta.
Teoría mínima necesaria
Para resolver este problema, necesitamos aplicar conceptos fundamentales de economía y cálculo diferencial:
- Ingreso Total \(I(x)\): Es el dinero que se recibe por la venta de \(x\) unidades. Se calcula multiplicando el precio unitario \(p\) por la cantidad vendida \(x\).
$$ I(x) = p \cdot x $$ - Utilidad o Ganancia \(U(x)\): Es el beneficio neto que obtiene el fabricante. Se calcula restando el Costo Total del Ingreso Total.
$$ U(x) = I(x) – C(x) $$ - Utilidad Marginal \(U'(x)\): Es la derivada de la función utilidad. Representa la razón de cambio de la utilidad con respecto a la cantidad producida y vendida. Se utiliza para estimar el cambio en la utilidad total al producir una unidad adicional.
- Estimación con Análisis Marginal: La utilidad exacta de producir y vender la unidad número \(n\) es \(U(n) – U(n-1)\). El análisis marginal nos permite aproximar este valor usando la derivada evaluada en \(n-1\). Es decir, la utilidad de la quinta camiseta se estima con \(U'(4)\).
- Regla del Cociente para Derivar: Para derivar la función de costo, usaremos la regla:
$$ \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} $$
Solución detallada
Parte (a): Hallar la función utilidad \(U(x)\)
Primero, determinamos la función de Ingreso Total \(I(x)\), multiplicando el precio \(p\) por la cantidad \(x\):
$$ I(x) = p \cdot x = \left(15 + \frac{3x}{2}\right) \cdot x $$
$$ I(x) = 15x + \frac{3x^2}{2} $$
Ahora, hallamos la función Utilidad \(U(x)\) restando el Costo Total del Ingreso Total:
$$ U(x) = I(x) – C(x) $$
$$ \mathbf{U(x) = 15x + \frac{3x^2}{2} – \frac{\sqrt{x^3 + 4}}{x + 2}} $$
Parte (b): Hallar la función utilidad marginal \(U'(x)\)
Para encontrar la utilidad marginal, derivamos la función \(U(x)\) con respecto a \(x\).
$$ U'(x) = \frac{d}{dx}\left(15x + \frac{3x^2}{2}\right) – \frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x^3 + 4}}{x + 2}\right) $$
Derivamos la primera parte (polinomio):
$$ \frac{d}{dx}\left(15x + \frac{3}{2}x^2\right) = 15 + \frac{3}{2}(2x) = 15 + 3x $$
Para la segunda parte (la función de costo), usamos la regla del cociente. Sean \(u = (x^3 + 4)^{1/2}\) y \(v = x + 2\).
- Derivada de \(u\) (usando regla de la cadena): \(u’ = \frac{1}{2}(x^3 + 4)^{-1/2} \cdot (3x^2) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 4}}\)
- Derivada de \(v\): \(v’ = 1\)
Aplicamos la regla del cociente para \(C'(x)\):
$$ C'(x) = \frac{u’v – uv’}{v^2} = \frac{\left(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 4}}\right)(x + 2) – (\sqrt{x^3 + 4})(1)}{(x + 2)^2} $$
Para simplificar el numerador, hallamos un denominador común:
$$ \text{Numerador} = \frac{3x^2(x + 2) – 2(\sqrt{x^3 + 4})(\sqrt{x^3 + 4})}{2\sqrt{x^3 + 4}} $$
$$ \text{Numerador} = \frac{3x^3 + 6x^2 – 2(x^3 + 4)}{2\sqrt{x^3 + 4}} = \frac{3x^3 + 6x^2 – 2x^3 – 8}{2\sqrt{x^3 + 4}} = \frac{x^3 + 6x^2 – 8}{2\sqrt{x^3 + 4}} $$
Sustituyendo el numerador simplificado en la expresión de \(C'(x)\):
$$ C'(x) = \frac{\frac{x^3 + 6x^2 – 8}{2\sqrt{x^3 + 4}}}{(x + 2)^2} = \frac{x^3 + 6x^2 – 8}{2(x + 2)^2\sqrt{x^3 + 4}} $$
Finalmente, juntamos todo para obtener la función de utilidad marginal:
$$ \mathbf{U'(x) = 15 + 3x – \frac{x^3 + 6x^2 – 8}{2(x + 2)^2\sqrt{x^3 + 4}}} $$
Parte (c): Estimación de la utilidad de la quinta camiseta
Para estimar la utilidad obtenida por la venta de la quinta camiseta (\(n=5\)), evaluamos la utilidad marginal en \(x = n-1 = 4\).
Calculamos \(U'(4)\):
$$ U'(4) = 15 + 3(4) – \frac{4^3 + 6(4^2) – 8}{2(4 + 2)^2\sqrt{4^3 + 4}} $$
$$ U'(4) = 15 + 12 – \frac{64 + 6(16) – 8}{2(6)^2\sqrt{64 + 4}} $$
$$ U'(4) = 27 – \frac{64 + 96 – 8}{2(36)\sqrt{68}} $$
$$ U'(4) = 27 – \frac{152}{72\sqrt{68}} $$
Simplificamos la fracción (dividiendo entre 8) y calculamos el valor aproximado:
$$ U'(4) = 27 – \frac{19}{18\sqrt{68}} $$
Usando una calculadora, \(\sqrt{68} \approx 8.246\).
$$ U'(4) \approx 27 – \frac{19}{18(8.246)} \approx 27 – \frac{19}{148.43} \approx 27 – 0.128 $$
$$ U'(4) \approx 26.872 $$
Interpretación: La utilidad estimada que el fabricante obtendrá por la venta específica de la quinta camiseta es de aproximadamente $26.87.
Errores comunes
- Confundir la función de precio con la de ingreso: Un error grave es usar \(p\) como si fuera \(I(x)\). Recuerda siempre que \(I(x) = p \cdot x\).
- Mala aplicación de la regla del cociente: El error más frecuente ocurre al derivar la función de costo \(C(x)\). Es común equivocarse en el signo del numerador (\(u’v \boldsymbol{-} uv’\)) o fallar en la simplificación algebraica de la fracción compleja resultante.
- Punto de evaluación incorrecto en el análisis marginal: Para estimar la utilidad de la \(n\)-ésima unidad, se debe evaluar \(U'(x)\) en \(x = n-1\), no en \(x=n\). Evaluar \(U'(5)\) daría la estimación para la sexta camiseta, no para la quinta.
- Errores de cálculo aritmético: Al evaluar la expresión final \(U'(4)\), que es compleja, es fácil cometer errores con la calculadora, especialmente con la raíz cuadrada y las fracciones.
