Problema de Examen: Aplicación de la Derivada, Regla de la Cadena en Negocios (Demanda de Paltas)
Enunciado del problema
(4 puntos) El departamento de ventas de una empresa exportadora de paltas ha estimado que la función de demanda mensual es
$$ D(p) = \frac{30p + 12300}{0.2p^2 + 30} \quad \text{kilogramos de palta,} $$
donde \(p\) representa el precio en soles de un kilogramo de palta. Se estima que el precio de un kilogramo de palta dentro de \(t\) meses será
$$ p(t) = 0.05t^2 + 0.3t + 8 \quad \text{soles.} $$
(a) Utilice la regla de la cadena para calcular \( \frac{dD}{dt} \).
(b) Calcule el valor de \( \left. \frac{dD}{dt} \right|_{t=4} \).
(c) Interprete el resultado obtenido en el ítem anterior.
Teoría mínima necesaria
Este problema requiere el uso de la derivada como una razón de cambio. Tenemos la demanda \(D\) que depende del precio \(p\), y el precio \(p\) que a su vez depende del tiempo \(t\). Queremos saber cómo cambia la demanda respecto al tiempo (\(dD/dt\)). Para esto usamos la Regla de la Cadena:
$$ \frac{dD}{dt} = \frac{dD}{dp} \cdot \frac{dp}{dt} $$
Además, necesitaremos reglas de derivación básicas:
- Regla de la potencia: Si \(f(x) = ax^n\), entonces \(f'(x) = anx^{n-1}\).
- Regla del cociente: Si \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\), entonces \(f'(x) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\).
Solución detallada
Parte (a): Calcular \( \frac{dD}{dt} \) usando la regla de la cadena
Debemos calcular por separado \(\frac{dD}{dp}\) y \(\frac{dp}{dt}\) y luego multiplicarlos.
Paso 1: Calcular \( \frac{dp}{dt} \)
Dada la función \( p(t) = 0.05t^2 + 0.3t + 8 \), derivamos respecto a \(t\):
$$ \frac{dp}{dt} = 2(0.05)t + 0.3 + 0 $$
$$ \mathbf{\frac{dp}{dt} = 0.1t + 0.3} $$
Paso 2: Calcular \( \frac{dD}{dp} \)
Dada la función \( D(p) = \frac{30p + 12300}{0.2p^2 + 30} \), usamos la regla del cociente.
Sean \(u = 30p + 12300 \implies u’ = 30\)
Y \(v = 0.2p^2 + 30 \implies v’ = 2(0.2p) = 0.4p\)
Aplicamos la fórmula:
$$ \frac{dD}{dp} = \frac{(30)(0.2p^2 + 30) – (30p + 12300)(0.4p)}{(0.2p^2 + 30)^2} $$
Simplificamos el numerador:
Numerator = \( (6p^2 + 900) – (12p^2 + 4920p) \)
Numerator = \( 6p^2 + 900 – 12p^2 – 4920p \)
Numerator = \( -6p^2 – 4920p + 900 \)
Entonces:
$$ \mathbf{\frac{dD}{dp} = \frac{-6p^2 – 4920p + 900}{(0.2p^2 + 30)^2}} $$
Paso 3: Aplicar la Regla de la Cadena
Multiplicamos los resultados obtenidos:
$$ \frac{dD}{dt} = \left[ \frac{-6p^2 – 4920p + 900}{(0.2p^2 + 30)^2} \right] \cdot (0.1t + 0.3) $$
(Nota: Se suele dejar expresado en términos de \(p\) y \(t\) para facilitar la evaluación posterior, en lugar de sustituir \(p(t)\) en la expresión de \(D\), lo cual resultaría en una expresión muy compleja).
Parte (b): Calcular el valor de \( \left. \frac{dD}{dt} \right|_{t=4} \)
Necesitamos evaluar la expresión anterior cuando \(t=4\). Para ello, primero debemos encontrar el precio \(p\) en ese momento.
1. Hallar \(p\) cuando \(t=4\):
$$ p(4) = 0.05(4)^2 + 0.3(4) + 8 $$
$$ p(4) = 0.05(16) + 1.2 + 8 $$
$$ p(4) = 0.8 + 1.2 + 8 = 10 $$
Entonces, evaluaremos usando \(t=4\) y \(p=10\).
2. Evaluar \( \frac{dp}{dt} \) en \(t=4\):
$$ \left. \frac{dp}{dt} \right|_{t=4} = 0.1(4) + 0.3 = 0.4 + 0.3 = 0.7 $$
3. Evaluar \( \frac{dD}{dp} \) en \(p=10\):
$$ \left. \frac{dD}{dp} \right|_{p=10} = \frac{-6(10)^2 – 4920(10) + 900}{(0.2(10)^2 + 30)^2} $$
$$ = \frac{-6(100) – 49200 + 900}{(0.2(100) + 30)^2} $$
$$ = \frac{-600 – 49200 + 900}{(20 + 30)^2} $$
$$ = \frac{-48900}{(50)^2} = \frac{-48900}{2500} $$
Simplificando la fracción:
$$ = \frac{-489}{25} = -19.56 $$
4. Multiplicar los resultados:
$$ \left. \frac{dD}{dt} \right|_{t=4} = (-19.56) \cdot (0.7) $$
$$ \mathbf{\left. \frac{dD}{dt} \right|_{t=4} = -13.692} $$
Parte (c): Interpretación del resultado
El resultado es \( \frac{dD}{dt} \approx -13.692 \). Las unidades de \(D\) son kilogramos y las unidades de \(t\) son meses. El signo negativo indica una disminución.
Interpretación: Dentro de 4 meses, la demanda mensual de paltas estará disminuyendo a una razón de aproximadamente 13.692 kilogramos por mes.
Errores comunes
- Error en la Regla del Cociente: Olvidar el signo menos en el numerador (\(u’v \mathbf{-} uv’\)) o no elevar al cuadrado el denominador.
- Omitir la Regla de la Cadena: Tratar de derivar \(D\) directamente respecto a \(t\) sin considerar la función intermedia \(p\).
- Errores de cálculo al evaluar: Cometer errores aritméticos al sustituir \(t=4\) y \(p=10\), especialmente con los signos negativos y los decimales.
- Interpretación incompleta: No mencionar las unidades (kg/mes) o no especificar el momento en el que ocurre el cambio («dentro de 4 meses»). Indicar solo el número sin decir si aumenta o disminuye.
