Problema de Examen: Continuidad de una Función en un Punto
Enunciado del problema
(3 puntos) Dada la función
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{(3x + 2)^5 + x^8}{\sqrt[3]{4x^2 – x + 3} + x^4 + 3x} & , \ x \neq -1 \\[1em] \frac{2Ax^2 + 2x – A}{x + 2} & , \ x = -1 \end{cases} $$
determine el valor de \(A\) de manera que \(f\) sea continua en el punto \(x = -1\).
Teoría mínima necesaria
Para que una función \(f(x)\) sea continua en un punto \(x = c\), se deben cumplir tres condiciones simultáneamente:
- La función debe estar definida en el punto, es decir, \(f(c)\) existe.
- El límite de la función cuando \(x\) tiende a \(c\) debe existir: \(\lim_{x \to c} f(x) = L\).
- El valor del límite debe ser igual al valor de la función en ese punto: \(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\).
En este problema, \(c = -1\). Usaremos la segunda rama para hallar \(f(-1)\) y la primera rama para calcular el límite, ya que esta aplica para valores cercanos a \(-1\) pero no iguales a él (\(x \neq -1\)). Si el límite resulta en una forma indeterminada \(0/0\), podemos usar la Regla de L’Hôpital, derivando numerador y denominador por separado.
Solución detallada
Aplicamos la condición de continuidad en \(x = -1\): \(\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)\).
Paso 1: Calcular el valor de la función en el punto, \(f(-1)\)
Usamos la expresión definida para \(x = -1\):
$$ f(-1) = \frac{2A(-1)^2 + 2(-1) – A}{(-1) + 2} $$
Simplificamos:
$$ f(-1) = \frac{2A(1) – 2 – A}{1} = 2A – 2 – A $$
$$ \mathbf{f(-1) = A – 2} $$
Paso 2: Calcular el límite \(\lim_{x \to -1} f(x)\)
Usamos la expresión para \(x \neq -1\):
$$ L = \lim_{x \to -1} \frac{(3x + 2)^5 + x^8}{\sqrt[3]{4x^2 – x + 3} + x^4 + 3x} $$
Evaluamos por sustitución directa para ver si hay indeterminación:
Numerador: \((3(-1) + 2)^5 + (-1)^8 = (-1)^5 + 1 = -1 + 1 = 0\)
Denominador: \(\sqrt[3]{4(-1)^2 – (-1) + 3} + (-1)^4 + 3(-1) = \sqrt[3]{4+1+3} + 1 – 3 = \sqrt[3]{8} – 2 = 2 – 2 = 0\)
Tenemos una forma indeterminada \(0/0\). Aplicamos la Regla de L’Hôpital, derivando el numerador y el denominador respecto a \(x\).
$$ L = \lim_{x \to -1} \frac{\frac{d}{dx}\left[ (3x + 2)^5 + x^8 \right]}{\frac{d}{dx}\left[ (4x^2 – x + 3)^{1/3} + x^4 + 3x \right]} $$
Calculamos las derivadas (usando regla de la cadena para los paréntesis):
Derivada del numerador: \( 5(3x+2)^4 \cdot (3) + 8x^7 = 15(3x+2)^4 + 8x^7 \)
Derivada del denominador: \( \frac{1}{3}(4x^2 – x + 3)^{-2/3} \cdot (8x – 1) + 4x^3 + 3 = \frac{8x – 1}{3\sqrt[3]{(4x^2 – x + 3)^2}} + 4x^3 + 3 \)
Ahora, evaluamos el límite de este nuevo cociente en \(x = -1\):
Nuevo Numerador: \( 15(3(-1)+2)^4 + 8(-1)^7 = 15(-1)^4 – 8 = 15(1) – 8 = 7 \)
Nuevo Denominador: Ya sabemos que lo de adentro de la raíz cúbica es 8.
$$ \frac{8(-1) – 1}{3\sqrt[3]{(8)^2}} + 4(-1)^3 + 3 = \frac{-9}{3\sqrt[3]{64}} – 4 + 3 = \frac{-9}{3(4)} – 1 = \frac{-9}{12} – 1 = -\frac{3}{4} – \frac{4}{4} = -\frac{7}{4} $$
El valor del límite es:
$$ L = \frac{7}{-7/4} = 7 \cdot \left(-\frac{4}{7}\right) $$
$$ \mathbf{L = -4} $$
Paso 3: Igualar y despejar \(A\)
Para que sea continua, igualamos el resultado del Paso 1 y el Paso 2:
$$ f(-1) = L $$
$$ A – 2 = -4 $$
$$ A = -4 + 2 $$
$$ \mathbf{A = -2} $$
Errores comunes
- No verificar la indeterminación: Asumir que el límite es directo sin comprobar si da \(0/0\).
- Error al derivar (L’Hôpital): Olvidar la regla de la cadena, especialmente en la raíz cúbica del denominador, o derivar incorrectamente las potencias.
- Error de evaluación algebraica: Cometer errores de signos o aritmética al sustituir \(x=-1\) en las expresiones derivadas, especialmente en las fracciones complejas.
- Confundir ramas: Usar la rama incorrecta para calcular \(f(-1)\) o el límite.
