Problema de Examen: Planteo de Ecuaciones Lineales (Situación Contextualizada)
Enunciado del problema
Pregunta (4 puntos)
Antonio decide ir al teatro con todos sus hermanos para presenciar un espectáculo cómico. Si compra entradas a S/ 40 cada una, le sobrarían S/ 20, pero si compra entradas a S/ 50 cada una, le faltarían S/ 10.
De acuerdo con el enunciado, realice lo siguiente:
a) (2P) Defina la variable necesaria para que plantee y resuelva la ecuación relacionada con la compra de entradas.
b) (1P) ¿Cuántas entradas comprará Antonio y cuántos hermanos tiene?
c) (1P) ¿Qué cantidad de dinero dispone Antonio para ir al teatro con sus hermanos?
Teoría mínima necesaria
Este es un problema clásico que se resuelve mediante el planteo de una ecuación lineal de primer grado. Los conceptos clave son:
- Definición de Variable: Identificar la cantidad desconocida principal que afecta a todas las situaciones descritas. Usualmente la denotamos con una letra como \(x\).
- Modelado Algebraico: Traducir las expresiones verbales a lenguaje matemático. Por ejemplo, «si el precio es \(P\) y compro \(x\) entradas», el costo es \(P \cdot x\).
- Principio de Igualdad: En este tipo de problemas, hay una cantidad que permanece constante en ambos escenarios. En este caso, la cantidad total de dinero que tiene Antonio es la misma, independientemente de si las entradas cuestan S/ 40 o S/ 50. Igualamos las expresiones que representan ese total de dinero.
- Resolución de Ecuaciones: Despejar la variable \(x\) agrupando términos semejantes.
Solución detallada
Parte a) Definición de variable, planteo y resolución de la ecuación
1. Definición de la variable:
La cantidad que determina el costo total en ambos casos es el número total de personas que van al teatro. Definimos:
Sea \(x\) = el número total de entradas que comprará Antonio (esto incluye la entrada para él y para sus hermanos).
2. Planteo de la ecuación:
Analizamos las dos situaciones basándonos en que la cantidad de dinero que tiene Antonio es fija.
- Situación 1 (Entradas a S/ 40):El costo de las entradas sería \(40x\).
El enunciado dice que le «sobrarían S/ 20». Esto significa que el dinero que tiene es igual al costo de las entradas más lo que le sobra.
Dinero total = \(40x + 20\)
- Situación 2 (Entradas a S/ 50):El costo de las entradas sería \(50x\).
El enunciado dice que le «faltarían S/ 10». Esto significa que el dinero que tiene no alcanza; su dinero es igual al costo de las entradas menos lo que le falta.
Dinero total = \(50x – 10\)
Como el dinero total de Antonio es el mismo en ambos casos, igualamos las dos expresiones:
$$ 40x + 20 = 50x – 10 $$
3. Resolución de la ecuación:
Agrupamos los términos con \(x\) a un lado y los números al otro. Movemos \(40x\) a la derecha (pasa restando) y \(-10\) a la izquierda (pasa sumando):
$$ 20 + 10 = 50x – 40x $$
$$ 30 = 10x $$
Despejamos \(x\) dividiendo entre 10:
$$ x = \frac{30}{10} $$
$$ \mathbf{x = 3} $$
Parte b) Cantidad de entradas y número de hermanos
- Según nuestra definición, \(x\) es el número total de entradas.Antonio comprará 3 entradas.
- El grupo está formado por Antonio y sus hermanos. Si son 3 personas en total, y una de ellas es Antonio, entonces:Número de hermanos = Total de personas – Antonio = \(3 – 1 = 2\).
Antonio tiene 2 hermanos.
Parte c) Cantidad de dinero disponible
Para hallar el dinero total, reemplazamos el valor de \(x = 3\) en cualquiera de las dos expresiones que planteamos en la parte a). Usaremos ambas para verificar.
- Usando la primera expresión (\(40x + 20\)):Dinero = \(40(3) + 20 = 120 + 20 = 140\).
- Usando la segunda expresión para verificar (\(50x – 10\)):Dinero = \(50(3) – 10 = 150 – 10 = 140\).
Ambas expresiones dan el mismo resultado, lo que confirma que nuestro valor de \(x\) es correcto.
Antonio dispone de S/ 140.
Errores comunes
- Mala definición de la variable: Definir \(x\) como solo el «número de hermanos», olvidando que Antonio también necesita entrada. Esto lleva a la ecuación \(40(x+1) + 20 = 50(x+1) – 10\), que es correcta pero más compleja de plantear inicialmente.
- Error de signos al plantear: Confundir «sobra» con restar y «falta» con sumar. Recordar: Dinero que tengo = Costo + Sobrante; Dinero que tengo = Costo – Faltante.
- Error al resolver la ecuación: Equivocarse en los signos al pasar términos de un lado a otro del igual (ej. pasar el -10 como -10 al otro lado).
- No responder todas las preguntas: Hallar \(x=3\) y quedarse ahí, sin calcular cuántos hermanos son o cuánto dinero total había, perdiendo puntos en los ítems b) y c).
