Problema de Examen: Relaciones entre Elementos y Conjuntos Numéricos
Enunciado del problema
Pregunta 3 (2 puntos)
Copie en el cuadernillo cuadriculado las siguientes relaciones, y complete los espacios, colocando \(\in, \notin, \subset \text{ o } \not\subset\) según corresponda.
a) (1P) \(\left( (3 + \sqrt{5})(3 – \sqrt{5}) – (2 – 0,4)^0 \right) \dots \mathbb{Q}\).
b) (1P) \((\mathbb{Z}’ \cap \mathbb{I}) \dots (\mathbb{R} – \mathbb{I})\).
Teoría mínima necesaria
Para resolver este problema, debemos entender el significado de los símbolos de relación y las definiciones de los conjuntos numéricos involucrados.
Símbolos de Relación
- Relación Elemento-Conjunto: Se usa cuando comparamos un objeto (número) con un conjunto.
- \(\in\): «Pertenece a». El elemento está dentro del conjunto.
- \(\notin\): «No pertenece a». El elemento no está en el conjunto.
- Relación Conjunto-Conjunto: Se usa cuando comparamos dos conjuntos.
- \(\subset\): «Es subconjunto de». Todos los elementos del primer conjunto están también en el segundo.
- \(\not\subset\): «No es subconjunto de». Al menos un elemento del primer conjunto no está en el segundo.
Conjuntos Numéricos y Operaciones
- \(\mathbb{R}\): Números Reales (todos los números en la recta numérica).
- \(\mathbb{Q}\): Números Racionales (se pueden escribir como fracción \(a/b\)). Incluye enteros y decimales exactos o periódicos.
- \(\mathbb{I}\): Números Irracionales (decimales infinitos no periódicos, como \(\sqrt{5}\), \(\pi\)). Son los reales que no son racionales (\(\mathbb{I} = \mathbb{R} – \mathbb{Q}\)).
- \(\mathbb{Z}\): Números Enteros \( \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} \).
- \(\mathbb{Z}’\): Complemento de los enteros en los reales, es decir, los números reales que no son enteros (\(\mathbb{Z}’ = \mathbb{R} – \mathbb{Z}\)).
- Diferencia de Cuadrados: \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\).
- Propiedad de Exponente Cero: \(x^0 = 1\), siempre que \(x \neq 0\).
Solución detallada
Parte a)
La expresión es \(\left( (3 + \sqrt{5})(3 – \sqrt{5}) – (2 – 0,4)^0 \right) \dots \mathbb{Q}\).
Primero, identificamos que a la izquierda tenemos una operación que dará como resultado un número (un elemento), y a la derecha tenemos el conjunto de los números racionales (\(\mathbb{Q}\)). Por lo tanto, debemos usar los símbolos \(\in\) o \(\notin\).
Simplifiquemos la expresión numérica:
- Resolvemos el producto \((3 + \sqrt{5})(3 – \sqrt{5})\) usando la diferencia de cuadrados:
$$ 3^2 – (\sqrt{5})^2 = 9 – 5 = 4 $$ - Resolvemos la potencia \((2 – 0,4)^0\). Primero la resta dentro del paréntesis:
$$ 2 – 0,4 = 1,6 $$
Como \(1,6 \neq 0\), elevamos a la cero:
$$ (1,6)^0 = 1 $$ - Realizamos la resta final:
$$ 4 – 1 = 3 $$
El resultado de la expresión es el número \(3\). Ahora nos preguntamos: ¿El número \(3\) pertenece al conjunto de los números racionales (\(\mathbb{Q}\))?
Sí, porque \(3\) es un número entero, y todos los enteros son racionales (se puede escribir como \(3/1\)).
Respuesta:
$$ \left( (3 + \sqrt{5})(3 – \sqrt{5}) – (2 – 0,4)^0 \right) \boldsymbol{\in} \mathbb{Q} $$
Parte b)
La expresión es \((\mathbb{Z}’ \cap \mathbb{I}) \dots (\mathbb{R} – \mathbb{I})\).
Aquí tenemos una comparación entre dos conjuntos. El de la izquierda es \((\mathbb{Z}’ \cap \mathbb{I})\) y el de la derecha es \((\mathbb{R} – \mathbb{I})\). Por lo tanto, debemos usar los símbolos \(\subset\) o \(\not\subset\).
Simplifiquemos cada conjunto:
- Conjunto de la izquierda: \(\mathbb{Z}’ \cap \mathbb{I}\)
- \(\mathbb{Z}’\) son los números reales que no son enteros.
- \(\mathbb{I}\) son los números irracionales.
- La intersección (\(\cap\)) busca los elementos comunes. ¿Qué números son a la vez «no enteros» e «irracionales»?
- Sabemos que ningún número irracional es entero. Por lo tanto, todo el conjunto de los irracionales (\(\mathbb{I}\)) está contenido en el conjunto de los no enteros (\(\mathbb{Z}’\)).
- Entonces, la intersección es simplemente el conjunto de los irracionales: \(\mathbb{Z}’ \cap \mathbb{I} = \mathbb{I}\).
- Conjunto de la derecha: \(\mathbb{R} – \mathbb{I}\)
- Este conjunto representa a todos los números reales (\(\mathbb{R}\)) quitando los irracionales (\(\mathbb{I}\)).
- Por definición, los números reales que no son irracionales son los racionales.
- Entonces: \(\mathbb{R} – \mathbb{I} = \mathbb{Q}\).
La pregunta se reduce a determinar la relación entre el conjunto de los irracionales (\(\mathbb{I}\)) y el conjunto de los racionales (\(\mathbb{Q}\)).
$$ \mathbb{I} \dots \mathbb{Q} $$
¿Es el conjunto de los irracionales un subconjunto de los racionales? No, por definición, son conjuntos disjuntos (no tienen elementos en común). Un número no puede ser racional e irracional al mismo tiempo.
Respuesta:
$$ (\mathbb{Z}’ \cap \mathbb{I}) \boldsymbol{\not\subset} (\mathbb{R} – \mathbb{I}) $$
Errores comunes
- Confundir los símbolos: Usar \(\in\) o \(\notin\) para comparar dos conjuntos (como en la parte b), o usar \(\subset\) o \(\not\subset\) para comparar un elemento con un conjunto (como en la parte a).
- Error de cálculo en a): Desarrollar mal la diferencia de cuadrados (ej. obtener \(9+5=14\)) o pensar que \((1,6)^0 = 0\).
- Mala interpretación de conjuntos en b):
- No saber que \(\mathbb{Z}’\) es el complemento de los enteros.
- No reconocer que \(\mathbb{R} – \mathbb{I}\) es exactamente el conjunto de los racionales \(\mathbb{Q}\).
- Pensar erróneamente que los irracionales son un tipo de racionales.
