Problema de Examen: Sistema de Ecuaciones Lineales con dos variables
Enunciado del problema
Pregunta (2,5 puntos)
Determine el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones:
$$
\begin{cases}
9(a – 2) + 1 = 5a – 3(b + 1) \\
5(a + 1) – b = 2(b – 3) + 42
\end{cases}
$$
Observación: presente el proceso completo de la solución para justificar su respuesta.
Teoría necesaria
Un sistema de ecuaciones lineales de 2×2 es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas (en este problema, \(a\) y \(b\)). Resolver el sistema significa encontrar el par ordenado \((a, b)\) que cumple ambas igualdades simultáneamente.
Cuando las ecuaciones no están en su forma estándar (\(Aa + Bb = C\)), el primer paso es siempre simplificarlas:
- Aplica la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. ¡Mucho cuidado con los signos!
- Agrupa los términos semejantes: mueve todos los términos con variables a un lado de la ecuación y los términos constantes al otro.
Una vez que el sistema está ordenado, puedes usar métodos como sustitución, igualación o reducción (eliminación). El método de reducción es ideal cuando los coeficientes de una de las variables son iguales o, como veremos aquí, opuestos.
Solución detallada
Vamos a simplificar cada ecuación por separado antes de intentar resolver el sistema.
Paso 1: Simplificar la primera ecuación
La ecuación es: \( 9(a – 2) + 1 = 5a – 3(b + 1) \)
Distribuimos el \(9\) en el lado izquierdo y el \(-3\) en el lado derecho:
$$ 9a – 18 + 1 = 5a – 3b – 3 $$
Combinamos los términos constantes en el lado izquierdo (\(-18 + 1\)):
$$ 9a – 17 = 5a – 3b – 3 $$
Movemos los términos con variables (\(5a\), \(-3b\)) al lado izquierdo y el término constante (\(-17\)) al lado derecho, cambiando sus signos:
$$ 9a – 5a + 3b = -3 + 17 $$
Reducimos los términos semejantes para obtener la primera ecuación simplificada, que llamaremos (I):
$$ \mathbf{4a + 3b = 14} \quad \text{(I)} $$
Paso 2: Simplificar la segunda ecuación
La ecuación es: \( 5(a + 1) – b = 2(b – 3) + 42 \)
Distribuimos el \(5\) en el lado izquierdo y el \(2\) en el lado derecho:
$$ 5a + 5 – b = 2b – 6 + 42 $$
Combinamos los términos constantes en el lado derecho (\(-6 + 42\)):
$$ 5a – b + 5 = 2b + 36 $$
Movemos el término con variable (\(2b\)) al lado izquierdo y el término constante (\(5\)) al lado derecho:
$$ 5a – b – 2b = 36 – 5 $$
Reducimos los términos semejantes para obtener la segunda ecuación simplificada, que llamaremos (II):
$$ \mathbf{5a – 3b = 31} \quad \text{(II)} $$
Paso 3: Resolver el sistema simplificado
Ahora tenemos un sistema mucho más fácil de manejar:
$$
\begin{cases}
4a + 3b = 14 \quad \text{(I)} \\
5a – 3b = 31 \quad \text{(II)}
\end{cases}
$$
Observa que los coeficientes de la variable \(b\) son opuestos (\(+3\) y \(-3\)). Esto hace que el método de reducción sea perfecto. Sumamos las dos ecuaciones verticalmente:
$$ \begin{array}{r c r c r} 4a & + & 3b & = & 14 \\ 5a & – & 3b & = & 31 \\ \hline \end{array} $$
$$ (4a + 5a) + (3b – 3b) = 14 + 31 $$
La variable \(b\) se cancela:
$$ 9a = 45 $$
Despejamos \(a\):
$$ a = \frac{45}{9} $$
$$ \mathbf{a = 5} $$
Paso 4: Hallar el valor de la segunda variable
Sustituimos el valor que acabamos de encontrar, \(a = 5\), en cualquiera de las dos ecuaciones simplificadas. Usemos la ecuación (I) porque tiene coeficientes más pequeños:
$$ 4a + 3b = 14 $$
$$ 4(5) + 3b = 14 $$
$$ 20 + 3b = 14 $$
Despejamos \(b\):
$$ 3b = 14 – 20 $$
$$ 3b = -6 $$
$$ b = \frac{-6}{3} $$
$$ \mathbf{b = -2} $$
Paso 5: Escribir el Conjunto Solución
Hemos encontrado que \(a = 5\) y \(b = -2\). El problema nos pide el conjunto solución.
Respuesta final:
$$ C.S. = \{ (5, -2) \} $$
Errores comunes
- Error en la propiedad distributiva: Olvidar multiplicar el número externo por todos los términos dentro del paréntesis. Por ejemplo, escribir \(9(a-2)\) como \(9a – 2\).
- Error de signos: Al distribuir un número negativo, como en \(-3(b+1)\), no cambiar el signo del segundo término, escribiendo incorrectamente \(-3b + 3\).
- Error al mover términos: Olvidar cambiar el signo de un término cuando se pasa de un lado de la ecuación al otro.
- Errores aritméticos básicos: Fallar en sumas o restas simples de números enteros, lo que arrastra el error hasta el final.
- Formato de respuesta incorrecto: Dar solo los valores de \(a\) y \(b\) en lugar de escribirlos dentro de llaves como un conjunto solución: \(\{ (a, b) \}\).
