Problema de Examen: Valor de Verdad en Expresiones Algebraicas y Conjuntos
Enunciado del problema
Pregunta 1 (3 puntos)
Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones (use un método gráfico o analítico para justificar su respuesta).
a) (1P) Si \(a < 0\), entonces \(|6a| – 2(1 – 3a)\) es igual a \(-2\).
b) (1P) Si \(x < -3\), entonces al reducir \(\sqrt{x^2 + 6x + 9} + x\) se obtiene \(3\).
c) (1P) \((\mathbb{R} – \mathbb{Q}) \cup \{3,14; \sqrt{5}\} = \mathbb{I}\)
Teoría necesaria
Para resolver estos ejercicios, necesitamos recordar tres conceptos fundamentales:
- Definición de Valor Absoluto: El valor absoluto de un número real \(x\) se define por tramos:
$$ |x| = \begin{cases} x, & \text{si } x \ge 0 \\ -x, & \text{si } x < 0 \end{cases} $$
Esto significa que si lo que está dentro de las barras es negativo, al quitar las barras debemos cambiarle el signo. - Raíz Cuadrada de un Cuadrado Perfecto: Una propiedad importante que relaciona raíces y valor absoluto es:
$$ \sqrt{y^2} = |y| $$
No es simplemente \(y\), ¡es el valor absoluto de \(y\)! - Conjuntos Numéricos:
- \(\mathbb{R}\): Conjunto de los Números Reales.
- \(\mathbb{Q}\): Conjunto de los Números Racionales (fracciones, decimales exactos o periódicos).
- \(\mathbb{I}\): Conjunto de los Números Irracionales (decimales infinitos no periódicos, como \(\pi\), \(e\), \(\sqrt{2}\)). Se define como \(\mathbb{I} = \mathbb{R} – \mathbb{Q}\).
Solución detallada
a) Si \(a < 0\), entonces \(|6a| – 2(1 – 3a)\) es igual a \(-2\).
Análisis:
Tenemos la condición de que \(a\) es un número negativo (\(a < 0\)).
Analizamos el término con valor absoluto: \(|6a|\).
- Como \(a\) es negativo, al multiplicarlo por 6, el resultado \(6a\) sigue siendo negativo.
- Por la definición de valor absoluto, si el interior es negativo, cambiamos el signo al quitar las barras: \(|6a| = -(6a) = -6a\).
Sustituimos esto en la expresión original y simplificamos:
$$ \underbrace{|6a|}_{-6a} – 2(1 – 3a) $$
$$ -6a – (2 \cdot 1) – (2 \cdot -3a) $$
$$ -6a – 2 + 6a $$
Los términos \(-6a\) y \(+6a\) se cancelan:
$$ -2 $$
Conclusión: El resultado analítico es \(-2\), que coincide con lo que afirma el enunciado.
Respuesta: VERDADERO
b) Si \(x < -3\), entonces al reducir \(\sqrt{x^2 + 6x + 9} + x\) se obtiene \(3\).
Análisis:
Primero, observamos que la expresión dentro de la raíz cuadrada es un Trinomio Cuadrado Perfecto:
$$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 $$
Reemplazamos esto en la expresión original:
$$ \sqrt{(x + 3)^2} + x $$
Aplicamos la propiedad \(\sqrt{y^2} = |y|\):
$$ |x + 3| + x $$
Ahora usamos la condición dada: \(x < -3\). Si \(x\) es menor que \(-3\) (por ejemplo, -4, -5, etc.), entonces la expresión dentro del valor absoluto, \(x + 3\), será negativa.
- Como \(x + 3 < 0\), aplicamos la definición de valor absoluto cambiando el signo: \(|x + 3| = -(x + 3) = -x – 3\).
Sustituimos de nuevo en la expresión:
$$ \underbrace{|x + 3|}_{-x – 3} + x $$
$$ -x – 3 + x $$
Los términos \(-x\) y \(+x\) se cancelan:
$$ -3 $$
Conclusión: El resultado analítico es \(-3\). El enunciado afirma que se obtiene \(3\). Como \(-3 \neq 3\), la afirmación es falsa.
Respuesta: FALSO
c) \((\mathbb{R} – \mathbb{Q}) \cup \{3,14; \sqrt{5}\} = \mathbb{I}\)
Análisis:
Analicemos el lado izquierdo de la igualdad paso a paso.
- El conjunto \((\mathbb{R} – \mathbb{Q})\):
Esto representa a los números reales quitando los racionales. Por definición, esto es exactamente el conjunto de los números irracionales, \(\mathbb{I}\). - El conjunto \(\{3,14; \sqrt{5}\}\):
Este es un conjunto pequeño con solo dos elementos:- \(3,14\): Es un decimal exacto, por lo tanto, es un número racional (\(3,14 = \frac{314}{100} \in \mathbb{Q}\)). No es irracional.
- \(\sqrt{5}\): Es un número irracional (\(\sqrt{5} \in \mathbb{I}\)).
- La unión (\(\cup\)):
Estamos uniendo el conjunto de todos los irracionales (\(\mathbb{I}\)) con el conjunto \(\{3,14; \sqrt{5}\}\).
$$ \mathbb{I} \cup \{3,14; \sqrt{5}\} $$
Como \(\sqrt{5}\) ya está dentro de \(\mathbb{I}\), no añade nada nuevo. Pero \(3,14\) es racional, NO está en \(\mathbb{I}\). Al unirlo, el conjunto resultante contiene a todos los irracionales Y ADEMÁS al número racional \(3,14\).
Comparación:
El lado izquierdo es el conjunto \(\mathbb{I}\) más el elemento \(3,14\). El lado derecho es solamente el conjunto \(\mathbb{I}\). Como el lado izquierdo tiene un elemento racional (\(3,14\)) que no está en el lado derecho, los conjuntos no son iguales.
Conclusión: La igualdad es falsa porque el conjunto de la izquierda incluye un número racional.
Respuesta: FALSO
Errores comunes
- En a) y b): Ignorar la condición del valor absoluto. Un error muy frecuente es simplemente «quitar las barras» sin verificar si el interior es positivo o negativo. Por ejemplo, escribir \(|6a| = 6a\) aunque \(a<0\), o \(\sqrt{(x+3)^2} = x+3\). Esto lleva a resultados incorrectos.
- En b): No reconocer el trinomio cuadrado perfecto. No darse cuenta de que \(x^2+6x+9\) se puede factorizar como \((x+3)^2\) impide simplificar la raíz.
- En c): Confundir el número decimal \(3,14\) con el número irracional \(\pi\). El número \(\pi\) es aproximadamente \(3.14159…\), pero el número \(3,14\) es exacto y racional.
- En c): Mala interpretación de la unión de conjuntos. Pensar que al unir un conjunto grande con uno pequeño, el resultado es siempre el grande, sin verificar si el pequeño tiene elementos «nuevos» (como el racional \(3,14\) en este caso).
